Anar Ələkbərov 1998-ci ildə Bakıda Qərb Universitetinin Beynəlxalq menecment ixtisası üzrə bakalavr pilləsini bitirib. 2001-ci ildə Bakıda Qərb Universitetinin Beynəlxalq iqtisadi münasibətlər ixtisası üzrə magistr dərəcəsinə yiyələnib.

2008-ci ildən Heydər Əliyev Fondunun icraçı direktoru vəzifəsində çalışır. Azərbaycan Respublikası Prezidentinin 10 iyul 2012-ci il tarixli sərəncamı ilə Heydər Əliyev Mərkəzinin direktoru təyin edilib.

2013-cü ildə Fransanın "İncəsənət və ədəbiyyat ordeni” ilə təltif edilib.

21 fevral 2014-cü ildə Azərbaycan Avtomobil İdman Növləri Federasiyasının prezidenti seçilib.

2014-cü ildə Azərbaycan və Macarıstan arasında əlaqələrin genişləndirilməsində və bu ölkədə mədəni-humanitar layihələrin həyata keçirilməsindəki xidmətlərinə görə Macarıstanın dövlət mükafatı – "Komandor xaç” ordeni ilə təltif edilib.

2014-cü ildə "Mehriban Əliyeva – xeyirxahlıq və ümid mücəssəməsi” adlı məqaləsi və "Mehriban” adlı kitabı çap edilib. "Milan Expo 2015” ümumdünya sərgisində Azərbaycan nümayəndə heyətinin sədri olub.

2017-ci ildə Azərbaycanın I vitse-prezidenti Mehriban Əliyevanın köməkçisi təyin olunub. 2019-cu ildə Azərbaycan Respublikası Prezidentinin köməkçisi təyin edilib.